Aleksiej Kuleszow to doświadczony zawodnik reprezentacji Rosji, który osiągnął w swojej karierze wiele znaczących sukcesów. Jednak w jego kolekcji brakuje zdobycie mistrza świata i Europy, które zdobywał jako junior, nie powtarzając tego w seniorskiej reprezentacji. W siatkówce klubowej wygrał wszystkie najwyższe nagrody, zdobywał Puchar Ligi Mistrzów, Mistrzostwo Rosji, Puchar Rosji oraz wiele medali z mniej wartościowego kruszcu w tych samych zawodach. Kuleszow ma na swoim koncie wiele nagród indywidualnych, które zdobywał najczęściej za najlepszego blokującego turnieju. Aleksiej Kuleszow obecnie reprezentuje barwy Iskry Odincowo.